Segitiga ABC: Sama Kaki Atau Sudut Spesial?

Hey guys! Pernah nggak sih kalian dikasih soal matematika tentang segitiga gitu, tapi yang dikasih malah koordinat titik-titiknya di ruang 3D? Nah, kali ini kita bakal bedah tuntas segitiga $ABC$ yang punya titik sudut di $A(4, -2, 1)$, $B(1, 1, 1)$, dan $C(2, 2, 3)$. Tugas kita adalah nentuin, segitiga ini tuh sama kaki, atau punya sudut yang keren kayak 30 derajat atau 90 derajat. Yuk, kita mulai petualangan geometris kita!

Membongkar Sifat Segitiga ABC: Sama Kaki atau Bukan?

Nah, guys, pertanyaan pertama yang sering banget muncul kalau kita ngomongin segitiga adalah, 'Ini segitiga sama kaki nggak sih?' Ciri utama segitiga sama kaki itu kan punya dua sisi yang panjangnya sama. Jadi, langkah pertama yang paling logis adalah kita harus ngitung panjang ketiga sisi segitiga $ABC$ ini. Siap-siap pegang kalkulator atau pulpen kalian ya!

Untuk ngitung panjang sisi, kita pakai rumus jarak antara dua titik di ruang 3D. Ingat kan rumusnya? Kalau ada titik $P(x_1, y_1, z_1)$ dan $Q(x_2, y_2, z_2)$, maka jarak $PQ$ adalah $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

Mari kita hitung panjang sisi $AB$: $A(4, -2, 1)$ dan $B(1, 1, 1)$. $AB = \sqrt{(1-4)^2 + (1-(-2))^2 + (1-1)^2}$ $AB = \sqrt{(-3)^2 + (3)^2 + (0)^2}$ $AB = \sqrt{9 + 9 + 0}$ $AB = \sqrt{18}$ $AB = 3\sqrt{2}$

Selanjutnya, kita hitung panjang sisi $BC$: $B(1, 1, 1)$ dan $C(2, 2, 3)$. $BC = \sqrt{(2-1)^2 + (2-1)^2 + (3-1)^2}$ $BC = \sqrt{(1)^2 + (1)^2 + (2)^2}$ $BC = \sqrt{1 + 1 + 4}$ $BC = \sqrt{6}$

Terakhir, kita hitung panjang sisi $AC$: $A(4, -2, 1)$ dan $C(2, 2, 3)$. $AC = \sqrt{(2-4)^2 + (2-(-2))^2 + (3-1)^2}$ $AC = \sqrt{(-2)^2 + (4)^2 + (2)^2}$ $AC = \sqrt{4 + 16 + 4}$ $AC = \sqrt{24}$ $AC = 2\sqrt{6}$

Sekarang kita lihat hasil panjang sisinya: $AB = 3\sqrt{2}$, $BC = \sqrt{6}$, dan $AC = 2\sqrt{6}$. Hmm, sepertinya nggak ada dua sisi yang panjangnya sama nih, guys. Jadi, kesimpulan sementara kita adalah segitiga $ABC$ ini bukan segitiga sama kaki. Tapi jangan buru-buru, kita lanjut ke kemungkinan lain ya!

Mengukur Sudut-Sudut Segitiga ABC: Ada yang Spesial Nggak?

Oke, guys, setelah kita yakin (atau belum yakin banget) soal sama kaki, sekarang saatnya kita mengukur sudut-sudutnya. Pernyataan yang muncul adalah $\angle BAC = 30^{\circ}$ dan $\angle ABC = 90^{\circ}$. Gimana cara ngukurnya?

Kita bisa pakai konsep vektor, nih. Vektor-vektor yang membentuk sudut di suatu titik itu bisa kita cari pakai dot product. Ingat rumus dot product? Kalau kita punya vektor $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$ dan $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$, maka $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3$. Selain itu, $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta$, di mana $\theta$ adalah sudut di antara kedua vektor.

Menyelidiki Besar $\angle BAC$

Sudut $\angle BAC$ itu sudut yang terbentuk di titik $A$. Berarti vektor yang kita butuhin adalah vektor $\vec{AB}$ dan $\vec{AC}$.

Komponen vektor $\vec{AB}$: $\vec{AB} = B - A = (1-4, 1-(-2), 1-1) = (-3, 3, 0)$

Komponen vektor $\vec{AC}$: $\vec{AC} = C - A = (2-4, 2-(-2), 3-1) = (-2, 4, 2)$

Sekarang kita hitung dot product $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-3)(-2) + (3)(4) + (0)(2) = 6 + 12 + 0 = 18$

Selanjutnya, kita perlu panjang (magnitudo) dari masing-masing vektor. Kita udah hitung panjang $AB$ tadi, yaitu $3\sqrt{2}$. Sekarang kita hitung panjang $AC$ (magnitudo $\vec{AC}$): $|\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + (4)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

|\vec{AB}| = $3\sqrt{2}$

|\vec{AC}| = $2\sqrt{6}$

Sekarang kita masukkan ke rumus cosinus: $\cos(\angle BAC) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|}$ $\cos(\angle BAC) = \frac{18}{(3\sqrt{2})(2\sqrt{6})}$ $\cos(\angle BAC) = \frac{18}{6\sqrt{12}}$ $\cos(\angle BAC) = \frac{18}{6 \cdot 2\sqrt{3}}$ $\cos(\angle BAC) = \frac{18}{12\sqrt{3}}$ $\cos(\angle BAC) = \frac{3}{2\sqrt{3}}$ Untuk menyederhanakan, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{3}$: $\cos(\angle BAC) = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Nah, kalau $\cos(\angle BAC) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, itu artinya besar sudut $\angle BAC$ adalah $30^{\circ}$. Yess! Kita nemu satu pernyataan yang benar!

Memeriksa Besar $\angle ABC$

Sekarang, kita mau ngecek $\angle ABC$. Sudut ini terbentuk di titik $B$. Jadi, kita perlu vektor $\vec{BA}$ dan $\vec{BC}$.

Komponen vektor $\vec{BA}$: $\vec{BA} = A - B = (4-1, -2-1, 1-1) = (3, -3, 0)$. Perhatikan, $\vec{BA}$ itu sama dengan $-\vec{AB}$, makanya komponennya jadi positif.

Komponen vektor $\vec{BC}$: $\vec{BC} = C - B = (2-1, 2-1, 3-1) = (1, 1, 2)$

Sekarang kita hitung dot product $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$: $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (3)(1) + (-3)(1) + (0)(2) = 3 - 3 + 0 = 0$

Wah, kalau dot product-nya nol, itu artinya apa, guys? Itu artinya kedua vektor itu saling tegak lurus! Jadi, besar sudut $\angle ABC$ adalah $90^{\circ}$. Mantap! Kita nemu satu lagi pernyataan yang benar.

Kesimpulan Akhir: Pernyataan Mana yang Benar?

Dari perhitungan kita yang panjang dan seru tadi, kita dapat:

1. Panjang sisi $AB = 3\sqrt{2}$, $BC = \sqrt{6}$, $AC = 2\sqrt{6}$. Tidak ada dua sisi yang sama panjang, jadi segitiga $ABC$ bukan segitiga sama kaki.
2. Besar $\angle BAC = 30^{\circ}$.
3. Besar $\angle ABC = 90^{\circ}$.

Jadi, pernyataan yang benar adalah:

• Segitiga tersebut bukan merupakan segitiga sama kaki (walaupun ini nggak ada di pilihanmu, tapi penting untuk dicatat).
• Besar $\angle BAC = 30^{\circ}$.
• Besar $\angle ABC = 90^{\circ}$.

Untuk pilihan yang kamu berikan: $\\square$ Segitiga tersebut merupakan segitiga sama kaki (SALAH) $\\square$ Besar $\\angle BAC = 30^{\\circ}$ (BENAR) $\\square$ Besar $\\angle ABC = 90^{\\circ}$ (BENAR)

Semoga penjelasan ini bikin kalian makin pede ya ngadepin soal-soal vektor dan geometri di ruang 3D. Kalau ada yang kurang jelas, jangan ragu tanya lagi ya, guys!